RJ九下第二十七章《相似》知识点

xiaohai 2024-02-29 14:43:33 274人围观 标签: 知识点总结 
简介人教版数学九年级下册第二十七章《相似》知识点,包含相似图形、相似三角形、相似三角形的判定、相似三角形的性质、位似等
一、相似图形

1、定义:形状相同的图形叫做相似图形

2、注意
(1)两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到;
(2)全等图形是特殊的相似图形,即全等图形一定是相似图形,但相似图形不一定是全等图形。

二、比例线段

1、线段的比:在同一长度单位下,量得的两条线段长度的比叫做这两条线段的比。

2、比例线段:对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等,如:图片alt(即:ad=bc),我们就说这四条线段成比例。

3、比例的相关性质
(1)比例基本性质的逆用:若ad=bc(bd≠0),则:图片alt
(2)比例其他性质
a、反比、更比性质:图片alt
b、合比、分比性质:图片alt
c、等比性质:图片alt

(3)黄金分割:如果点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且AB:AC=AC:BC,叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点。

三、相似多边形

1、相似多边形:两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形

2、相似比:相似多边形对应边的比叫做相似比

3、相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边成比例.

四、平行线分线段成比例定理

1、基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。

2、推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。

五、相似三角形

1、定义:三个角分别相等,三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

2、注意
(1)用符号“∽”表示两个三角形相似,表示两个三角形相似时,对应顶点的大写字母要对应上;
(2)如果仅说△ABC与△A'B'C'相似,没有用“∽”,则需要进行分类讨论它们之间的对应关系;
(3)相似三角形的相似比具有顺序性,即如果△ABC与△A'B'C'的相似比为k,那么△A'B'C'与△ABC的相似比为1k

六、相似三角形的判断定理

1、平行定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;

2、三边定理:三边成比例的两个三角形相似。

3、两边及夹角定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

4、两角定理:两角分别相等的两个三角形相似。

5、直角三角形相似的判定
斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。一个锐角相等的的两个直角三角形相似。

七、相似三角形的性质

1、相似三角形对应线段及周长的性质
(1)相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比,即相似三角形对应线段的比等于相似比。

(2)相似三角形的周长的比等于相似比。

2、相似三角形的面积的性质
相似三角形面积的比等于相似比的平方。

八、位似图形的概念

1、位似图形:两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似图形,这点叫做位似中心。

2、位似图形必须满足两个条件:
① 两个图形是相似图形;
② 两个相似图形的对应顶点的连线相交于一点。

3、位似多边形:对应两个多边形,如果它们的对应顶点的连线相交于一点,并且这点与对应顶点所连线段成比例,那么这两个多边形就是位似多边形。

4、位似图形的性质
(1)对应角相等,对应边成比例;
(2)位似图形的对应点的连线交于一点,即位似中心;
(3)位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比;
(4)位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且线段比等于相似比。

九、位似图形的画法

1、定:确定位似中心;
2、作:分别过位似中心和原图的各关键点作直线;
3、找:根据相似比,找出所作位似图形的对应点;
4、连:按原图连接各对应点,得到放大或缩小的图形。

十、平面直角坐标系中的位似变换

一般地,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).

注意:求位似图形对应点的坐标时,要注意位似图形可以在位似中心的同侧,也可以在位似中心的两侧,需要根据题意分情况讨论。

 

十一、图形变换

1、位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式;
2、图形变换的种类:
(1)全等变换:不改变图形的大小和形状,包括平移、旋转、轴对称;
(2)位似变换:改变大小(扩大、缩小),不改变形状。